Sphirolandia. Un lugar muy formal

 

 

 

 

 

 

 

 


Por el Profesor Mario Peral Manzo

En una región muy próxima a la imaginación que hace frontera con la realidad, se encuentra un hermoso lugar matemático en donde viven eternamente un infinito número de individuos llamados "sphiros" (seres esféricos de idénticas dimensiones y con una vocación indomable por agruparse).

Este lugar es un medio que está muy reglamentado con el fin de mantener un constante equilibrio entre los individuos que lo habitan y asegurar su existencia "por siempre y para siempre jamás". Sphirolandia, pues, se basa en las siguientes...

Reglas:

1. Los "sphiros" pueden permanecer aislados si así los desean (por supuesto no lo desean; pues simplemente no pueden evitar querer agruparse)

2. Cuando están aislados y buscan reunirse, solamente pueden agruparse en cadenas; jamás podrán formar conglomerados o amontonamientos que contravengan la tercer regla (ver siguiente regla).

3. Toda vez que los "sphiros" formen cadenas (filas):

* No les es permitido agruparse con un idéntico número de elementos a cualquier cadena ya existente. Es decir, no debe haber más de una cadena con idéntico número de elementos. Cuando por accidente (o por el caso advertido en la quinta regla; expresada líneas más abajo) esto suceda, las cadenas con idéntico número de elementos se unirán de acuerdo con lo previsto en esta última regla mencionada.
* Pueden unirse a otra cadena, alineando todos y cada uno de sus elementos para formar hileras y siempre comenzando este alineamiento por uno de los extremos de la cadena. (Convengamos en llamar filas a los elementos ordenados de manera horizontal e hileras a los ordenados de manera vertical).

* Si lo desean pueden permanecer así unidos de manera indefinida pero, como ya lo sabemos, no lo desean; pues sencillamente no pueden evitar querer seguir agrupándose.

4. Toda vez que los inquietos y gregarios "sphiros" hayan alineado sus filas en hileras, podrán unirse a otros conjuntos de "sphiros" ordenados del mismo modo que se menciona en la tercer regla.

5. Toda vez que se junten cuatro filas de "sphiros", y muy a su pesar, se separarán en hileras, y cada una de las hileras cuyo número de "sphiros" sea idéntico, se unirán de acuerdo con la tercer regla.

6. Los "sphiros" que formen hileras de un solo elemento (suena extraño esto de "hileras de un único elemento" pero abusemos un poco del lenguaje para una mayor claridad) necesariamente se separarán unos de otros durante el proceso descrito en la quinta regla aunque, posteriormente al restablecimiento de la legalidad y, dada su terquedad, no se les prohibe que decidan volver a unirse como lo estaban poco antes de la desintegración o como se les dé su muy regalada gana sin violar la segunda regla.

7. Las filas producidas durante la desintegración de las hileras (descripta en la quinta regla) reiniciarán el proceso indefinidamente.

Problemas:

Como en el ambiente que hemos creado hay un infinito número de "sphiros" en interacción, suponemos que hay un infinito número de procesos en los que interactúan "sphiros" solos o en cadena y esto garantiza la eternidad de éstos y sus interacciones. Pero si nos limitamos a un conjunto finito como el ejemplificado en la quinta regla, ¿habrá un retorno al límite que es el origen para estas interacciones o continuarán indefinidamente? Y si continúan indefinidamente ¿será porque el proceso se convierte en un ciclo periódico o un proceso cíclico con infinidad de posibles historias? ¿Qué otras variantes serán posibles sin violar las reglar enunciadas? Para quienes no les da la gana quebrarse la cabeza con los anteriores planteamientos sugerimos que aborden el siguiente problema que sólo se detiene en el límite que reinicia el proceso.

I. Revisa los siguientes casos.

Caso 1: Si... 5(3=3(2)+2(1) Y... 7(4=4(2)+3(1) Entonces... (5(3(((7(4(=3(4)+1(3)+1(2)+2(1)

Caso 2: Si... 11(6=6(2)+5(1) Y... 13(2=2(2)+11(1) Entonces... (11(6(((13(2(=2(4)+4(3)+5(2)+2(1)

Caso 3: Si... 4(12=4(2)+8(1) Y... 10(5=5(2)+5(1) Entonces... (4(12(((10(5(=4(4)+1(3)+5(2)+2(1)

II. Resuelve el siguiente caso. Si... 5(7=5(2)+2(1) Y... 2(3=2(2)+1(1) Entonces... (5(7(((2(3(= Después de sufrir, ver solución en la nota al final del texto.

III. Muestra para el caso 1:
Si... 5y3=3(2)+2(1)
Y... 7y4=4(2)+3(1)
Entonces... [5y3]y[7y4]=3(4)+1(3)+1(2)+2(1)

 

5(3=3(2)+2(1)
7(4=4(2)+3(1)
[5y3]y[7y4]=3(4)+1(3)+1(2)+2(1)
Las líneas se usan para indicar con mayor claridad las soluciones, pero se entiende que las filas están alineadas formadas de "sphiros" que están unidos en hileras.

III. Generalización: (a quien no le interese estos asuntos tan serios, continúe con las conclusiones; pero no saben de lo que se pierden)

{a, b, c, d} € N
a<b<c<d
ayb= bya Propiedad conmutativa.
cyd= dyc
ayb= a(2)+(b-a)(1) = a+b
cyd= c(2)+(d-c)(1) = c+d
[ayb]y[cyd]=[cyd]y[ayb] Propiedades: conmutativa y asociativa.
[ayb]y[cyd]=a(4)+(b-a)(3)+(c-b)(2)+(d-c)(1)=(a+b)+(c+d)

IV. Conclusión: Antes de concluir: es nuestro deseo que estos ejercicios sirvan (sobre todo a los más jóvenes) como un aliciente para abordar de manera divertida los temas de la teoría de conjuntos. Ahora sí, concluyamos que: En los casos observados las cantidades se conservan; pero las combinaciones entre los "sphiros", según las reglas enunciadas, permiten o garantizan un movimiento perpetuo (interacciones entre los elementos, de manera indefinida) y la existencia del sistema como tal.

Nota. * Solución: 2(4)+1(3)+2(2)+2(1) 1 1

Profesor Mario Peral Manzo

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